第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷
数学低年级组
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\[ \]
1. (屋寒大学,Baire 供题)
(1) 设 \(f(x)\) 是 \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) 的函数, 若 \(\ln f(x) \) 是凸 (凹) 函数, 则称 \(f\) 是对数-凸 (对数-凹) 的, 证明: Gamma 函数 \( \Gamma(x)=\int _0 ^{+\infty} t^{x-1} {e}^{-t} \mathrm{d} t\) 在 \( (0,+\infty) \) 上是对数-凸的.
(2) 证明 Gautschi's 不等式
\[ x^{1-s}< \frac {\Gamma (s+1)}{\Gamma (x+s )}<(x+1 )^{1-s } \]
\( x>0, 0< s <1. \)
(3) 设 \(\alpha>0\), 研究级数 \(\sum \frac{n !}{\prod_{k=1}^n(\alpha+k)}\) 的敛散性.
\[ \]
2. (屋寒大学,Baire 供题)
设 \( {f}\) 为 \( \mathbb{R}^n\) 上的 \(C^2\) 映射. \(J {f}( {x}) \) 为 Jacobi 矩阵, 它的元素为 \(\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x), i, j=1,2, \cdots, n\). 在 Jacobi 行列式 \(\mathrm{det}(J f(x))\) 中对应的代数余子式为 \(A_{i j}(x), i, j=1,2, \cdots, n\). 证明如下的 Hadamard 恒等式:
$$
\sum_{i=1}^n \frac{\partial A_{i j}}{\partial x_i}(x)=0, j=1,2, \cdots, n .
$$ \[ \]
3. (屋寒大学,Baire 供题)
设 \(f\) 在 \([0,1]\) 上 \(n\) 阶连续可微, \(f\left(\frac{1}{2}\right)=0, f^{(i)}\left(\frac{1}{2}\right)=0, i=1,2, \cdots, n\) . 证明
$$
\left(\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leq\frac{1}{(2 n+1) 4^n(n !)^2} \int_0^1\left(f^{(n)}(x)\right)^2 \mathrm{~d} x .
$$
\[\] 4. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
求所有满足下述条件的实数 \(a \in \mathbb{R}: \) 存在可微函数 \(f: \mathbb{R} \rightarrow(0, \infty)\) 使得
$$
f^{\prime}(x)=f(x+a), \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
\[ \]
5. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 \( \left(a_n\right)_{n \geq 1} \) 和 \(\left(b_n\right)_{n \geq 1}\) 是正实数列, 且满足
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{n}=a \in \mathbb{R}_{>0}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n+1}}{n b_n}=b \in \mathbb{R}_{>0} .
$$
计算
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{\sqrt[n+1]{b_{n+1}}}-\frac{a_n}{\sqrt[n]{b_n}}\right)
$$
\[ \]
6. (家里蹲大学, Dylen 供题)
试证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^n|\sin (\pi x)|^x d x=\sqrt{\frac{8}{\pi}} .
$$
\[\] 7. (云南大学, Ulyanov Aleksandr 供题)
Let \( n\) be any positive integer. Show that
$$
\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} \cos (n \theta-2 \sin \theta) d \theta=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k !(n+k) !}
$$
\[ \]
8. (兰州大学, 按定义易证 供题)
定义一个 Fibonacci 数列, 满足 \( F_1=1, F_2=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}, \forall n \geq 3\). 对每一个固定的 \( k \geq 1, k \in \mathbb{N}^{+}\), 定义一个新的数列 \( \left\{\frac{F_{m_0+n k}}{F_{m_0+(n+1) k}}\right\}_{n=0}^{+\infty}\left(m_0=0,1, \cdots, k-1\right)\). 证明: 这个新的数列收敛, 并求出收敛的极限.
\[\]