第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷 数学低年级组

 

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1. (屋寒大学,Baire 供题)
(1) 设 f(x) 是 R→R 的函数, 若 ln⁡f(x) 是凸 (凹) 函数, 则称 f 是对数-凸 (对数-凹) 的, 证明: Gamma 函数 Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt 在 (0,+∞) 上是对数-凸的.
(2) 证明 Gautschi's 不等式 x1−s<Γ(s+1)Γ(x+s)<(x+1)1−s x>0,0<s<1.
(3) 设 α>0, 研究级数 ∑n!∏k=1n(α+k) 的敛散性. 2. (屋寒大学,Baire 供题)
设 f 为 Rn 上的 C2 映射. Jf(x) 为 Jacobi 矩阵, 它的元素为 ∂fj∂xi(x),i,j=1,2,⋯,n. 在 Jacobi 行列式 det(Jf(x)) 中对应的代数余子式为 Aij(x),i,j=1,2,⋯,n. 证明如下的 Hadamard 恒等式: ∑i=1n∂Aij∂xi(x)=0,j=1,2,⋯,n. 3. (屋寒大学,Baire 供题)
设 f 在 [0,1] 上 n 阶连续可微, f(12)=0,f(i)(12)=0,i=1,2,⋯,n . 证明 (∫01f(x)dx)2≤1(2n+1)4n(n!)2∫01(f(n)(x))2 dx. 4. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
求所有满足下述条件的实数 a∈R: 存在可微函数 f:R→(0,∞) 使得 f′(x)=f(x+a),∀x∈R. 5. (湖州师范学院, 阿渣 供题)
设 (an)n≥1 和 (bn)n≥1 是正实数列, 且满足 limn→∞an+1−ann=a∈R>0,limn→∞bn+1nbn=b∈R>0. 计算 limn→∞(an+1bn+1n+1−anbnn) 6. (家里蹲大学, Dylen 供题)
试证明: limn→∞1n∫0n|sin⁡(πx)|xdx=8π. 7. (云南大学, Ulyanov Aleksandr 供题)
Let n be any positive integer. Show that 12π∫02πcos⁡(nθ−2sin⁡θ)dθ=∑k=0∞(−1)kk!(n+k)! 8. (兰州大学, 按定义易证 供题)
定义一个 Fibonacci 数列, 满足 F1=1,F2=1,Fn=Fn−1+Fn−2,∀n≥3. 对每一个固定的 k≥1,k∈N+, 定义一个新的数列 {Fm0+nkFm0+(n+1)k}n=0+∞(m0=0,1,⋯,k−1). 证明: 这个新的数列收敛, 并求出收敛的极限.